嗯，这可不行啊，自己现在可还是燕大的博士生呢，不能荒废掉学业啊。

叶云州马上跟大脑里的贾维斯交流，看看确认什么样的选题。

经过贾维斯的建议，叶云州决定此次研究“量子电动力学中含时偏微分方程的数值解法及稳定性”。

为什么要研究这个问题呢？因为这个问题的难度跟NS方程问题差不了多少，但是一旦发表对叶云州的学术声誉带来的提升必定是惊人的。

因为里面包含有三个定理以及五个方程的提出。

而且这个问题涉及到量子电动力学，一旦这篇论文发表，叶云州不但有机会拿遍数学类的奖项，还有很大可能拿到诺贝尔物理学奖。

确定好题目，叶云州授权贾维斯控制自己身体，开始写论文。

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标题：量子电动力学中含时偏微分方程的数值解法及稳定性研究

摘要：本文聚焦于量子电动力学中含时偏微分方程，探讨其数值解法和稳定性问题。通过研究不同数值方法在该类方程中的应用、参数对计算结果的影响以及不同方法处理复杂边界和非线性问题的能力，旨在为量子电动力学相关问题的求解提供稳定且准确的数值方案。

关键词：量子电动力学；含时偏微分方程；数值解法；稳定性

一、引言

量子电动力学在理解微观世界中带电粒子与光子相互作用方面具有至关重要的地位，其核心的含时偏微分方程是研究的关键所在。然而，由于方程的复杂性，求解这些方程面临巨大挑战，数值解法的稳定性和准确性成为研究热点。

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贾维斯一方面从经典数值方法入手，分析它们在量子电动力学含时偏微分方程中的表现。通过理论分析和数值实验相结合的方式，研究稳定性和收敛性。

同时考虑方程的物理特性和数学结构，将其与数值方法的特性相匹配，以找到最优方案。

在研究方法上面，贾维斯引入了新方法。

比如有限差分法，对含时偏微分方程进行离散化，根据时间和空间导数的不同差分格式（如向前、向后、中心差分等）构建离散方程。

通过 Von Neumann 稳定性分析等方法，研究时间步长和空间网格尺寸对稳定性的影响。分析不同边界条件和非线性项在差分格式下的处理方式，对比其在处理复杂问题时的能力。

有限元法，将求解区域划分为有限个单元，通过构造基函数将偏微分方程转化为代数方程组。

对于时间相关问题，可以采用时间离散的方法（如 Crank - Nicolson 格式等）。

研究有限元方法的收敛性，通过能量估计等技术分析其稳定性。

对比有限元法在处理复杂几何形状和边界条件下的优势，以及在处理非线性问题时通过变分形式的处理方法。

数值实验，针对具体的量子电动力学模型方程，使用不同数值方法进行大量计算。

改变时间步长、空间网格尺寸等参数，观察计算结果的变化。

通过与已知的简单解（如在某些特殊情况下的解析解或近似解）对比，评估数值方法的准确性和稳定性。

同时，比较不同数值方法在处理复杂边界条件和非线性问题时的计算效率和精度。

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整篇论文18万5000字，直到第三天下午才写完。